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作者:逯家彤 来源:读写算 2019年29期
  摘 要 数列作为高中阶段数学知识中的一个重要知识点,是一种具有较强规律性的数学模型。通过科学地利用数列知识,可以有效解决生活中的一些常见的问题,如:存款利息的计算、固定资产折旧等。尤其对于处于高中阶段的学生来说,在解决一些数学难题方面有着重要的意义。
  关键词 高中;数学;数列;解题方法
  中图分类号:G718.2,C931.1                                      文献标识码:A                                                  文章编号:1002-7661(2019)29-0159-01
  在高中阶段的数学学习过程中,面对某一较复杂的数学问题时,可能存在多种有效地解题方法,学生应充分掌握这一灵活解题的能力。本文主要分析了高中数学中数列问题的几种解题方法,为高中生学习数列问题提供一定的帮助。
  一、数列的介绍
  (一)数列的概念
  数列是以整数集(或他的有限子集)为定义域的函数,是一列有序的数,其中的每个数都称为这个数列的项,第n位的数是这个数列的第n项,通常用an表示。其一般形式可写为a1,a2,…,an,an+1,…,简记为{an}。
  (二)数列的重要性
  數列作为高中数学体系中的一项重要知识点,通过对数列问题进行系统化的研究,有助于帮助学生增强数学的思维能力,提升学生的分析、归纳和总结等方面的学习能力。高中数学的各个知识点之间都有着紧密的联系,例如数列可与立体几何、函数、不等式等数学问题联系在一起,使单一的数学问题变得综合化,通过一道题锻炼学生的多项数学解题能力。
  二、数列问题的解析方法
  (一)定义法
  例:有如下三个结论:①数列{an}是等比数列,则{an}是一个关于n的指数函数;②bn是n的一次函数的充要条件是数列{bn}是等差数列;③数列{bn}是等差数列的充要条件是数列{bn}的前n项和Sn是二次函数。其中叙述正确的个数为()
  A.0     B.1     C.2       D.3
  解析:对于①,我们根据等比数列的定义可知,等比数列{an}的通项公式为an=a1qn-1,a1qn-1不是关于n的指数函数。对于②和③,我们根据等差数列的定义可知,等比数列{bn}的通项公式为bn=b1+(n-1)d=dn+(b1-d),其前n项和 Sn=nb1+n(n-1)d/2=dn2/2+(b1-d/2)n;当d=0时,bn=b1,bn不是n的一次函数,Sn=nb1,Sn不是二次函数。因此本次选择A。
  (二)画图法
  画图法是根据题目已经给出的一些已知条件,将题干中所提供的信息通过画图的方式反映出来,将抽象的数学概念进行具象化,更加清晰地看出关键知识点的所在,从而快速解决数列问题。
  例:等差数列{an}中,am=n,an=m,且d≠0,m≠n,则 am+n是多少?解析:
  
  通过{an}是等差数列且d≠0可知an是关于n的一次函 数,则如上图所示,坐标(n,m),(m,n),(m+n,am+n)三点共线,所以利用直线处处斜率相等可得(n-m)/(m-n)=(am+n–n)/[(m+n)-m],可解得am+n=0。
  (三)公式法
  公式法是指运用数列中等差、等比数列的相关公式解决 问题的方法。
  例:已知各项均为正数的数列{an}前n项和Sn满足 6Sn=(an+1)(an+2),S1>1,n∈N*,求{an}的通项公式。
  解析:当n=1时,a1=S1=(a1+1)(a1+2)/6,且a1=S1>1,解得a1=1(舍)或2,所以a1=2。由公式可知an+1=Sn+1-Sn=(an+1+1)(an+1+2)/6-(an+1)(an+2)/6,整理得(an-1-an-3)(an+1+an)=0,又an>0,解得an+1-an=3。因此,可得知数列{an}是以2为首项以3为公差的递增等差数列,,通项公式 an=2+3(n-1)=3n-1。
  (四)函数思想求解
  数列从某种程度上来说也是一种特殊的函数,因此也可以从函数的角度去分析数列的问题。
  例:已知数列{an}递增,an=n2+λn,n∈N*,求λ。
  解析:由数列{an}递增知an+1-an>0,即[(n+1)2+λ(n+1)]-[n2+λn]=2n+1+λ>0恒成立,因此λ>-1-2n 恒成立(n∈N*)。设f(n)=-1-2n,则需求出f(n)的最大值,由上面可知f(n)最大值为f(1)=3(n∈N*),所以λ的取值范围是λ>3。
  三、结束语
  从上面总结的内容可以看出,在高中阶段学习数列问题时,学生在面对数列方面的一系列难题时,应当灵活选择适当的解题方法,如函数法、画图法、递推法、归纳猜想法等,针对不同类型的数列问题,找出最佳的解题思路。
  参考文献:
  [1]高中数列问题的解题策略思考[J].何琦.环渤海经济瞭望.2017(10)

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