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作者:高鑫 来源:读写算 2019年27期
  摘 要 数列一直是高中数学的重点题型,特别是在综合性比较强的数列问题中,数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文介绍新课改下高考中经常出现的一类求数列通项公式的方法,通过分析该类题型,运用分解、转化等思想,给出由递推公式求数列的通项公式常用方法。
  关键词 高中;数列;通项公式
  中图分类号:G718.2
  文献标识码:A
  文章编号:1002-7661(2019)27-0152-02
  解决递推数列的基础是掌握等差、等比数列的定义以及它们的通项公式和前项和的公式。近几年高考中的选择题、填空题和解答题也增加了对这类知识点的考查。以下列举了几种常见的由递推公式求通项公式的方法。
  1.累加法
  一般地,对于已知条件形如“ ”的求通项公式的题目,若的和比较好求,我们可以采用此方法来求,即。
  例1[河南洛阳2016模拟]知数列满足,,则通项        
  2.累乘法
  一般地,对于形如“已知,且“”的题目,可通过累乘法求数列的通项公式.即。
  例2[浙江金丽衢十二校2015第二次联考]知数列满足3.构造法
  当数列前一项和后一项,即和的递推关系较为复杂时,我们通常对原数列的递推关系进行变形,,重新构造数列,使其变为我们学过的熟悉的数列(等比数列或等差数列)。常用的变形方法有以下几种方法。
  (1)待定系数法
  ①一般地,对于(为常数)型,可化为的形式。重新构造一个以为公比的等比数列,然后通过化简用待定系数法求,最后求。
  ②对于(其中为常数)型,一般我们讨论两种情况:
  a)
  当为一次多项式时,即数列的递推关系为(为常数)型,可化为
  b)
  当为指数幂时,即数列的递推关系(为常数)型,可化为的形式.构造出一个新的等比数列,然后再求。
  当然,对于这种形式的递推关系求时,当时,我们也会采取另一种方法,即等式左、右两边同除以,重新构造数列来求。
  (2)倒数法
  一般地,对于形如,的递推关系,可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。
  (3)对数法
  当数列和的递推关系涉及高次时,形如(其中,为常数)等,一般采用对数法,等式左、右两边分别取对数,进行降次,重新构造数列进行求解。
  例3[河北衡水2015四模]已知数列
  4.归纳猜想法
  当我们在求数列通项无从下手时,归纳猜想法不失为一种权宜之计,观察数列特征,找出各项的构成规律,横向看各项之间的关系结构,纵向看各项与项数的内在联系,从而归纳出数列的通项公式。
  利用归纳法求数列的通项公式可抓住以下特征:
  ①项与次数的变化特征,如平方关系,倍数关系;
  ②相邻项的变化特征;
  ③拆项后的特征,变化部分和不变化部分的规律拆开看;
  ④分式中分子、分母的特征:分子、分母分別找通项,同时注意观察分子、分母间的关系;
  ⑤各项的符号特征和绝对值特征,如奇、偶项正负交替,用或调节;
  ⑥借助一些基本数列的通项公式变形。
  总而言之,根据递推公式求数列的通项,其中蕴含的是数学中的化归思想,将抽象的转化为具体的、特殊的转化为一般的,未知的转化为已知的,努力将复杂的转化为简单的。
  参考文献:
  [1]刘清华.数列递推公式求通项公式常见方法[J].昭通学院学报,2017(S1):54-57.
  [2]姜传盛.由递推式求数列的通项[J].数学学习与研究,2013(03):85.

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