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高中数学导数解题方法探究

发布时间:2021-07-07 人气:

  摘 要 导数作为高中数学的重要部分,是新加入的必修内容,其和函数知识、实际问题解决等高中阶段需要掌握的知识之间存在紧密联系。导数和各种数学知识点的结合,诞生了诸多题型,该类题型大多新颖且巧妙,因此成为了考试的常见题,但也让学生在解题的时候颇为苦恼。在教学过程中,教师引导学生理解吃透导数概念并将其应用在解题中,能够显著提升数学解题的效率,并促进学生数学知识的深化融合。本文基于此先阐述导数概述,然后分析高中数学导数解题方法,供相关工作者参考。
  关键词 高中数学;导数;导数解题
  中图分类号:G632 文献标识码:A 文章编号:1002-7661(2020)32-0113-02
  随着新课改的推进,高中数学教学不再单单注重学生解题能力的培养,而是更关注学生的创新意识和思维开拓。高考的命题方式多变,但导数解题的相关方法知识点一直是重点之一,其时常和函数、方程、数列等内容相结合,然后变换出新颖的题型,考验学生的导数解题能力。导数问题往往巧妙而精细,学生在解题的时候不能笼统地分析,而需要充分思考,发散思维,以足够的耐心去分析得出答案。在这一过程中,学生的自主思考和独立解题能力都能得到锻炼。
  一、高中导数概述
  高中数学教材上有提到,导数体现着函数的变化趋势,在学习简单的初等函数的时候,就可以用到函数求导,让一些看似复杂的问题简单化,从而轻松地解答出来。高中的导数教学,主要是培养学生用导数解决数学问题的习惯思维。这些年,高考中导数问题和题型越发常见,这也变成学生需要跨过的阻碍难关,学生要就问题来思考是否有求导的必要,寻找突破点,运用导数解题方法来得到答案。
  二、高中数学导数解题的方法策略
  (一)导数解题应用于函数单调性
  函数单调性求解一直是高考中的常见题型,其就是函数在某一区间内递增或递减的变化趋势。如果学生没有学过导数来解题,往往需要画图或者求出相邻两点的差,这些方法复杂且浪费时间,而且一不小心就容易出错。而导数的学习掌握,则给学生提供了函数问题解答的另一条路径。运用导数,学生只用针对特定函数求导,特定区间内导数数值<0,则函数为单调递减,相反则是单调递增。对比导数和其他解题方法,很简单能看出导数解题更简洁明了,有助于学生快速解题。
  例如,教师给学生一道题目y=x+Inx,函数的单调递增区间为()
  A(0,+∞);B(-∞,-1),(1,+∞);C(-1,0);D(-1,1)
  教师引导学生采用导数方法来解题,解析:函数y=x+Inx的定义域为(0,+∞),令,得x>0,所以,学生就可以求出答案是选A。
  (二)导数解题应用于不等式问题
  高考的另一热点问题就是不等式,和函数一样,其解题方法也是多种多样,但导数仍是其中最简单清晰的解题方法。因此,在遇到不等式题目的时候,教师主要引导学生应用导数来解答。而运用导数解决不等式题目的原理就是把不等式问题转化成函数问题,再以导数转化成函数单调性研究。这样,只要判断函数值和是否满足条件就能判断不等式成立与否。
  例如,若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf’(x)>-f(x)恒成立,且常数a,b满足a>b,求证af(a)>bf(b)。
  教师引导学生用导数解题,已知,构造函数,则,从而F(x)在R上为增函数。因为a>b,所以F(a)>F(b),即af(a)>bf(b)。解题的时候教师引导学生由条件移项后,可想到是一个积的导数,从而构造函数F(x)=xf(x),求导就能完成证明。
  (三)导数解题应用于函数最值问题
  高中函数问题中,最值是最常见也最重要的学习和考点内容。导数解题方法应用于函数最值问题,能给学生解题提供一条更为简单的途径。而各种题型中,最典型的是二次函数的最值问题,相比于数形结合解题,导数解题要更加快捷且不易出错。
  例如,教师给学生一道题目:函数的最小值是多少?
  A.2 B.0 C. D.6
  这类题是较为简单的,不需要对参数的变化范围分类讨论,只要依照导数判断函数在此区间上的单调性,就能够求得二次函数最小值。学生解题的时候,令,则,,,因而在区间上为减函数,当t=1时,函数y最小值是。这道题目解答的时候载体为三角函数,先换元,把三角问题转为二次函数在区间上的最小值问题。
  (四)导数解题应用于实际问题解决
  除了函数和不等式问题之外,导数解题还可应用于实际问题的解决。数学学习过程中,学生时常会遇到生活相关的问题,这些实际相关的问题可实现函数或等式问题的转化,然后应用导数来简化题目,从而清晰直观地求出答案。
  例如,教师给学生一道问题是已知某厂生产x件产品的总成本是元。求:要使生产x件产品的平均成本最低,应当生产多少件产品?
  学生在解答这道题目的时候,设生产x件产品的平均成本为y元,則,,令y’=0,得到x1=1000,x2=-1000(舍去)。当时,y取的极小值。因为函数只有一极值点,因此函数在这点取得最小值。所以,要使平均成本最低,需生产1000件产品。在解这道题目的时候,,思路主要是依照题目给出的条件来列出目标函数,然后以导数来最值求解。
  三、结语
  总而言之,导数在函数单调性、不等式、函数最值等问题解决方面得到普遍应用,能够帮助学生梳理清晰解题思路,快速地解题获得答案。在日常作业和测试中,教师积极引导学生熟练掌握导数解题方法,强化导数知识应用,能够大大节省解题时间,简化步骤,提高解题效率和准确度,并达到全面提升学生数学知识能力的效果。
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