读写算杂志社官网
当前位置:读写算杂志社 > 论文赏析 > 正文

探源涂色问题:两个计数原理够用吗

发布时间:2020-11-29 人气:

  摘 要 涂色问题,基本的要求是对图形中的若干个区域涂色,颜色种类有限且相邻区域颜色不能相同,求总的涂色方法数。此类问题常常立意新颖,表面叙述简单易懂,实质却包含着丰富的数学思想,突出学生能力的考查而成为近年考试中的热点。
  关键词 涂色问题;计数原理
  中图分类号:G632 文献标识码:A 文章编号:1002-7661(2020)27-0200-02
  高三一轮复习中笔者讲了如下的例题:
  例1如图,矩形的对角线把矩形分成A,B,C,D四部分,现用4种不同颜色给四部分涂色,每部分涂1种颜色,要求共边的两部分颜色互异,则共有________种不同的涂色方法.
  解析:区域A有4处涂色方法;区域B有3种涂色方法;区域C的涂色方法可分2类:若C与A涂同色,区域D有3种涂色方法;若C与A涂不同色,此时区域C有2种涂色方法,区域D也有2种涂色方法。所以共有4×3×3+4×3×2×2=84(种)涂色方法。
  总结:在解决区域涂色问题中,笔者综合使用了分步乘法原理和分类加法原理。解决问题的关键就是找准突破口,进行恰当的分类讨论。
  为了检验学生们是否掌握了要领,笔者又给出了相似的一个变式。
  变式(03·全国)如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻地区不得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有____种
  答案:72
  解析:从区域1入手,有4种颜色,因为区域1与其他各区域均相邻,所以其余4个区域共有3种颜色可选。以下思路同例题。
  同学们思路很快,基本上都算对了答案,教学效果令人满意。过了段时间,课后有学生问了一道与例题相似但复杂一些的题目,又把所有人都难住了。
  例2用4种不同的颜色为正六边形的六块区域涂色,要求有公共边的区域涂不同颜色,一共几种不同的涂色方法.
  本题与例题模式一致,只是由四个区域增加到六个区域。如果按照之前的经验,按A、C是否同色分类讨论的话,后面还有D,E,F三个区域,彼此间颜色相互影响,各种情况将非常复杂。而这又是一道填空題,许多同学对用计数原理解决涂色问题的通法产生了怀疑。有同学查看了标准答案。
  解法一:对涂色情况进行分类讨论。考虑A、C、E用同一种颜色,此时共有4×3×3×3=108种方法;考虑A、C、E用2种颜色,此时共有种方法;考虑A、C、E用3种颜色,此时共有种方法。故共有108+432+192=732种不同的方法。
  整个解题过程只用到两个基本计数原理,简洁精彩。通法没有错,关键是以什么为依据进行分类讨论。涂色问题,相邻区域不同色,不邻区域可同色,所以从A开始A、C、E可能出现同色情况,分别可以用一种、两种、三种颜色涂,因此分为3种情况。一共六个区域,由A、C、E区域颜色,确定B、D、F区域颜色,类似于二分法求方程的近似根。这样分类也很高效。一般的,如果由2n个区域首尾相连时,都可以从某个区域开始,选择无不相邻的n个区域组成一组,进行分类讨论。
  这个思路技巧性很强,而且适用范围比较窄。如果换做别的题目,方法很难得到迁移。透过两个计数原理,隐藏在这类涂色问题背后的数学本质又是什么呢?
  如果忽略涂色区域的大小与形状,只考虑不同区域之间的相邻关系。那么,涂色问题可以分为线形、环形和星形。为叙述方便,统一用“”表示不同的区域,以“”表示区域间的相邻关系。
  一、线形结构
  这是最简单的涂色问题,各区域沿直线依次排开,方法是从左向右按顺序涂色。
  第一个区域没有任何限制,任意颜色均可;从第二个区域起,每个区域都要求和前一个区域颜色不同即可。
  一般的,若有n个区域(n≥2),有m种颜色可供选择,则共有m(m-1)n-1种不同的涂色方法。注意,结果只和颜色种数m、区域个数n有关,与区域排列顺序无关。
  二、环形结构
  环形区域结构要稍微要复杂一些,所有区域依次连接,
  整体呈圆环状(如图所示)。上面例1、例2都是环形结构。
  环形区域来源于线形区域,可以看成把一个线形结构第一个
  区域A1和最后一个区域An首尾链接起来。
  如例1,是n=4的环状结构。从A开始按线形结构涂色,共4×33=108种方法;这其中会出现A、D同色的情况,因为A、D相邻,需要反面排除。当A、D同色时,把两个看成同一个区域,这时相当于n=3的环状结构,共4×3×2=24种。所以,实际有108-24=84种方法。
  区域涂色是综合应用两个计数原理解题的一类典型问题。解决问题的关键就是进行恰当的分类讨论。复杂的区域以互不相邻区域分组,分组分类讨论。除此之外,遇到复杂的区域涂色,发现典型结构灵活转化递推也是一个重要的方法。
  教学反思:
  高三教学时间紧、任务重,提升复习课效率是提升复习备考质量的不二法门。
  高效的教学是精细的教学。例2与例1模式完全相同,只不过区域个数增加,方法完全可以通用,按说前一题的经验也很容易迁移过来。但学生们只知方法,不会操作。究其原因是教学不精细,可操作性不强。总结中提到的关键是进行恰当的分类讨论,还是思想方法理论层面的,大而化之。除此之外,精细的教学教师还需要给学生以解题经验的传授。用熟悉的知识解决陌生的问题,丰富、具体的经验积累才是知识迁移的保障。
  高效的课堂充实的课堂,有深度、有广度。高效课堂不仅仅要通过变式教学、当堂检测、师生互动等等教学方法、环节的优化,,更需要教师在课前备课中回归数学本真,优化授课内容,给学生们的知识体系横向织网,纵向挖深。把握题目要害,讲透解法脉络。高三生活对每个人都是一次修行、一次升华。只有教师沉浸在知识的海洋中,把教学内容充实精炼,学生们才能跟随着教师的脚步取得真经,超越自我。

相关推荐